חזרה לרשימה
על הזוכה
מקבל פרס ישראל לשנת תשפ"ד בתחום חקר המתמטיקה.
פרופ' ויטלי מילמן הוא מתמטיקאי בעל שם עולמי.
פרופ' מילמן הרים תרומות פורצות דרך באנליזה פונקציונלית. מילמן אחראי להיווצרות תחום מחקר נרחב, הנקרא כיום אנליזה גאומטרית אסימפטוטית, אשר משפיע על תחומים רבים במתמטיקה וביישומיה. מילמן גילה ופיתח כמה תופעות מתמטיות מרכזיות, ביניהן תופעת ריכוז המידה, המהווה את אחד הכלים החזקים ביותר באנליזה שהתגלו בעשורים האחרונים.
נוסף לכך, פרופ' מילמן היה הראשון שגילה עקרונות גאומטריים כלליים ומפתיעים הנמצאים ביסוד תופעות רבות כאשר ממד המרחב שואף לאינסוף.
בפועלו האקדמי הרים פרופ' מילמן תרומה עצומה לקידום תחום המתמטיקה בישראל.
התכנים בעמוד
נימוקי השופטים
השופטים: פרופ' דוד קשדן – יושב ראש, פרופ' שפרירה (שפי) גולדווסר, פרופ' מיכה שריר
הוועדה למתן פרס ישראל במתמטיקה ובמדעי המחשב לשנת תשפ"ד ממליצה פה אחד להעניק את הפרס לפרופסור ויטלי מילמן מאוניברסיטת תל אביב, על תרומותיו המרשימות הרבות ופורצות הדרך באנליזה פונקציונלית, תחום מחקר מרכזי במתמטיקה עיונית העוסק במרחבים רבי־ממדים.
פרופסור מילמן היה הראשון שגילה את העקרונות הגאומטריים הכלליים והמפתיעים, הנמצאים ביסוד תופעות רבות כאשר ממד המרחב שואף לאינסוף. עקרונות אלו הובילו להתפתחות תחום חדש וחשוב במתמטיקה, אנליזה גאומטרית אסימפטוטית, המתמקדת במרחבים בעלי ממד סופי השואף לאינסוף. גישה זאת, וגילוי תכונות בלתי צפויות ומרשימות של משפחות של מרחבים כאלה, הביאו למהפך בתחום האנליזה הפונקציונלית, אשר גם משפיע על תחומים רבים אחרים במתמטיקה וביישומיה.
אחת התופעות המרכזיות בתחום, שפרופסור מילמן גילה ופיתח, היא תופעת ריכוז המידה, המהווה את אחד הכלים החזקים ביותר באנליזה שהתגלו בעשורים האחרונים. תופעה זו פיתח מילמן בשנות השבעים, בעבודותיו על התורה הלוקלית של מרחבי בנך, בעקבות עבודות של פול לוי (Paul Levy) לפני יותר ממאה שנים. לתופעה זו שימושים רבים בתורת ההסתברות, בסטטיסטיקה וביישומיה המגוונים. עבודות רבות של בכירי המתמטיקאים, כולל גרומוב (Gromov), טלגרן (Talagrand), ומילמן עצמו, המשיכו לחקור את התופעה.
בקצרה, התופעה אומרת שפונקציה טיפוסית על מרחב רב־ממדי מתנהגת במקרים רבים כאילו הייתה הפונקציה הקבועה. מילמן הגיע לגילוי התופעה כאשר קישר את משפט דבורצקי, בדבר חתכים כמעט־כדוריים של גופים קמורים, עם משפט האי־שוויון האיזופרימטרי של לוי, שבתחילה נחשב לתופעה על ספירה כדורית בלבד. מילמן (ב־1970) נתן דוגמאות ראשונות שונות מספירה שבהן התופעה קיימת, והבין שריכוז המידה היא תופעה כללית מאוד, החלה על מבנים רבים בממדים גבוהים. מאחורי ניסוח מעורפל זה מסתתר מגוון של משפטים קונקרטיים עמוקים, שגילה פרופ' מילמן יחד עם עמיתים למחקר. שיטה זו היא אחת השיטות החדשניות והחזקות ביותר באנליזה ונמצאו לה שימושים במאות מאמרים בתחומים של אנליזה פונקציונלית, גאומטריה, תורת ההסתברות, קומבינטוריקה ובמובן מסוים אפילו מדעי המחשב.
מושג רב השפעה נוסף שפיתח מילמן היה "ספקטרום־עיוות" (distortion-spectrum) של פונקציות. ברמה הפילוסופית משמעות המושג היא שמבנים רב־ממדיים שרירותיים מכילים בהכרח תת־מבנים פשוטים מאוד. משפט דבורצקי המצוין לעיל הוא דוגמה אופיינית לכך. התברר שמושג הספקטרום שפיתח מילמן הוא מושג כללי מאוד, המפגיש את תורת רמזי עם אנליזה פונקציונלית. היקף תוכניתו של מילמן באנליזה גאומטרית חורג הרבה מעבר לתוצאה הספציפית הזו, והוא מקיף מגוון רחב של תופעות, לא רק במרחבי בנך אלא גם בתחומים אחרים של גאומטריה, אנליזה וקומבינטוריקה.
דוגמה להתפתחות הרעיון הוא משפט "מנת תת-המרחב" של מילמן, המהווה אחת מגולות הכותרת של התורה הלוקאלית של מרחבי בנך. משפט זה אומר שכל מרחב בנך 3n-ממדי מכיל תת־מרחב מממד 2n אשר לו מרחב מנה n-ממדי שהוא באופן אחיד כמעט הילברטי. משפט מנת תת־המרחב הוא לא רק תוצאה מרשימה בפני עצמה אלא גם מכשיר רב עוצמה המאפשר לקבל תוצאות נוספות. למשל, מילמן, בעבודה משותפת עם בורגיין, השתמש במשפט מנת תת־המרחב כדי לפתור את בעיית מאהלר האסימפטוטית שהתעוררה בתורת המספרים הגאומטרית, אשר הייתה פתוחה במשך כמחצית המאה.
משפט מנת תת־המרחב של מילמן פתח גם כיוון חדש בתורת הקמירות ואי־שוויונים גאומטריים. משפט זה ומסקנותיו, מעבר לחשיבותם לאנליזה באופן כללי, הם כשלעצמם עמוקים ביותר ומרשימים ביופיים. מילמן הוכיח את אי־שוויון ברון־מינקובסקי ההפוך, מפניני התורה הלוקאלית. נוסף לכך, מילמן הראה כי לכל גוף קמור רב ממדי קיים אליפסואיד – שנקרא "אליפסואיד מילמן" – המייצג את הגוף היטב במובנים רבים. כלומר, כל הגופים הקמורים בממד גבוה מתנהגים כאילו היו אליפסואידים פשוטים. התוצאות האלה אינן רק יישומים מרחיקי לכת של המושגים שפיתח מילמן, הן גם דוגמאות מצוינות לקשרי הגומלין שבין גאומטריה ואנליזה.
עבודותיו של פרופסור מילמן משנות האלפיים עוסקות בין השאר במושג ה"דואליות" הקמורה, שהוא אחד הרעיונות המרכזיים והשימושיים ביותר באנליזה פונקציונלית. השערה מפורסמת של פִּיץ' (Pietsch) דנה בקשר שבין אנטרופיה ודואליות. אנטרופיה, או מספר הכיסוי, מודדת את מספר העותקים של גוף קמור אחד הנדרש כדי לכסות לחלוטין גוף קמור שני. בסדרת עבודות פורצות דרך עם פרופ' סארק (Szarek), פרופ' טומצ'ק־ייגרמן (Tomczak-Jaegermann) ותלמידתו של מילמן, פרופ' ארטשטין־אבידן, הוכיח פרופסור מילמן את השערת פִּיץ' במקרה המרכזי שבו אחד הגופים הקמורים הוא אליפסואיד, או באופן כללי יותר, כשלפחות לאחד מהגופים הקמורים יש טיפוס (type) לא טריוויאלי. על פי פרופ' מילמן, הבנה עמוקה של מהות רעיון הדואליות קשורה לרעיון של היפוך סדר. מילמן העלה השערות נועזות לגבי איפיון טרנספורם הדואליות, שהיוו בסיס לעבודתם של בורוצ'קי (Böröczky) ושניידר (Schneider). תוצאה מפתיעה ואלגנטית במיוחד שקיבל מילמן בשיתוף עם ארטשטין־אבידן היא אפיון של טרנספורם לז'נדר כאינבולוציה היחידה במחלקת הפונקציות הקמורות שהופכת את היחס של אי־שוויון נקודתי בין פונקציות.
מעבר לכל ההישגים המרשימים שפורטו לעיל, ורבים אחרים, מילמן גם תרם רבות לקידום תחום המתמטיקה בישראל, דבר שהתבטא בין השאר בפעולתו הנמרצת לגיוס מתמטיקאים מהשורה הראשונה מברית המועצות לשעבר ולקליטתם באוניברסיטאות בארץ. זאת ועוד, הוא פעל רבות לטיפוח המצוינות המחקרית בישראל ולהכרה בה בקהילה המתמטית הבין־לאומית. הוא העמיד דורות של תלמידים שחלקם נמנה עם המתמטיקאים הטובים ביותר בארץ ובעולם. הוא ייסד וערך את העיתון המרכזי בתחום מחקרו, Geometric and Functional Analysis, הנחשב כיום לאחד העיתונים המתמטיים המובילים. הוא זכה להוקרה רבה על השגיו, כולל פרסי א.מ.ת. ולנדאו. עבודותיו של מילמן מוזכרות על ידי רבים מבכירי המתמטיקאים בעולם, בפורומים מתמטיים מרכזיים רבים, וכן בספרים ובמאמרי סקירה.
על כל אלה מצאה הוועדה את פרופ' ויטלי מילמן ראוי לקבלת פרס ישראל בחקר המתמטיקה.
קורות חיים
פרופ' ויטלי מילמן ואשתו לודמילה גרים בהרצליה. להם שלושה ילדים, שבעה נכדים ושלושה נינים.
לימודים
1956–1959 תואר ראשון, החוג למתמטיקה, אוניברסיטת חרקוב, ברית המועצות
1959–1960 תואר שני, החוג למתמטיקה, אוניברסיטת חרקוב, ברית המועצות
1965 תואר שלישי, מתמטיקה, המכון לפיזיקה של טמפרטורות נמוכות, ברית המועצות
1970 דוקטור למדעים, המכון לפיזיקה של טמפרטורות נמוכות, ברית המועצות
תפקידים אקדמיים בארץ
1973–1980 פרופסור חבר (עם קביעות), בית הספר למדעי המתמטיקה, אוניברסיטת תל אביב
1980–2007 פרופסור מן המניין, בית הספר למדעי המתמטיקה, אוניברסיטת תל אביב
1980–1982 ראש החוג למתמטיקה עיונית, בית הספר למדעי המתמטיקה, אוניברסיטת תל אביב
1992–2009 מופקד על קתדרת ארגנטינה למתמטיקה, אוניברסיטת תל אביב
תפקידים אקדמיים בחו"ל (רשימה חלקית)
1961–1965 חוקר באקדמיה למדעים של ברית המועצות במכון לפיזיקה של טמפרטורות נמוכות
1965–1973 חוקר בכיר במכון לפיזיקה כימית של האקדמיה למדעים של ברית המועצות
לאורך השנים התארח והרצה במוסדות בעולם, בהם אוניברסיטת ניו־יורק באלבני, ארה"ב; אוניברסיטת ויין בדטרויט, ארה"ב; המכון ללימודים מתקדמים, צרפת; סורבון, צרפת; המכון ללימודים מתקדמים, פרינסטון, ארה"ב
שירות ציבורי
1983–1992 חבר הוועד המנהל של הוצאת ויצמן ישראל
1989–1993 יועץ למשרד המדע לענייני עלייה וקליטה של מדענים
1992–1995 חבר הוועד המנהל, המכון למתמטיקה תעשייתית, באר שבע
1994– חבר מועצת המנהלים, אוניברסיטת אריאל בשומרון
2001–2004 חבר מועצת המנהלים, אוניברסיטת תל אביב
2000–2002, 2015–2017 נשיא האיגוד הישראלי למתמטיקה
חברות בוועדות עריכה של כתבי עת (רשימה חלקית)
1990 מייסד ועורך ראשי של כתב העת Geometric and Functional Analysis
1997–2013 עורך בכתב העת Israel Journal of Mathematics
2007 עורך בכתב העת Communications in Contemporary Mathematics
הוקרות ופרסים נבחרים
1991 פרס מיוחד עבור תרומה יוצאת דופן לקליטת מדענים עולים
2002 פרס לנדאו למתמטיקה
2007 פרס א.מ.ת במדעים מדויקים
2009 פרס הומבולדט
מפעל חיים
ויטלי מילמן נולד ב־1939 באודסה בדיוק ביום שבו נחתם הסכם ריבנטרופ–מולוטוב, וכך אירועי המלחמה וחייו האישיים הצטלבו. משפחתו ברחה מאודסה לאזור הקווקז במטרה להגיע להרי אוּרל. הם שהו שם זמן מה והמשיכו במסעם בדיוק לפני שהגרמנים ניסו לכבוש את האזור ורצחו את כל הפליטים שהיו שם. ויטלי היה אז בן שנתיים וכיוון שחלה, סבו החליט להישאר עימו בסטלינגרד בזמן ששאר המשפחה המשיכה בדרכה. לאחר כמה מאורעות שבהם בקושי שרד, הוא הגיע עם הוריו לגבול שבין אוקראינה לרוסיה, ונשאר שם עם סבתו. הוא זוכר היטב כיצד אימו (שאותה כבר הספיק לשכוח בטרם מלאו לו חמש שנים) הגיעה כדי להשיבו לחיקה ולחיק אביו באודסה.
ויטלי גדל בבית עם זיקה ואהבה למדע. אימו נמו (לבית צודיקובה) הייתה פיזיקאית, ואביו דוד היה פרופסור חשוב למתמטיקה ברוסיה ומאוחר יותר בישראל. כבר בצעירותו הוא הצטיין במתמטיקה והגיע למקום הראשון בכל אולימפיאדה למתמטיקה שבה השתתף, והתעניין במדע. "השלטון הסובייטי שלט בכל מה שהתפרסם", מספר מילמן, "אולם הייתה סדרת ספרים שיועדה לחיילים ולמלחים והשלטון אישר את פרסומה באופן אוטומטי. אלו היו ספרים קצרים, מאוד זולים, שכתבו בהם מומחים על קשת רחבה של תחומים. בכל פעם ביקשתי שיקנו לי עוד ספר ועוד ספר, אהבתי לקרוא את החוברות האלה".
לימודיו בבית הספר היסודי והתיכון לוו בתקריות אנטישמיות לא מעטות, ובשל יהדותו כמעט נבצר ממנו לסיים את הלימודים עם מדליית כסף שתבטיח לו את קבלתו לאוניברסיטה, אולם בסופו של דבר הצליח ופנה ללימודים אקדמיים באוניברסיטת חרקוב. שאיפתו הייתה ללמוד פיזיקה ולהתמחות בפיזיקה גרעינית. "הייתה לי הרגשה פנימית שהתחום הזה עתיד להתפתח בשנים הקרובות, אולם אבי ייעץ לי לוותר על לימודי פיזיקה מכיוון שבאותה העת לא קיבלו יהודים למחלקה לפיזיקה גרעינית ועל כן נרשמתי ללימודי מתמטיקה". כבר בשנים הראשונות ללימודיו פרסם מאמרים מדעיים בהדרכתם של מוריו פרופ' א"ד מישקיס ופרופ' ב"י לוין, חלקם בשיתוף עימם. עבודת המאסטר שכתב הייתה ברמה גבוהה והוא נדרש להוסיף לה רק פרק אחד כדי לזכות בתואר דוקטור.
באותה העת לא התירו ליהודים באוקראינה להמשיך ללימודים מתקדמים באקדמיה, ועל כן הוא נאלץ לפנות לעבודה. לאחר כמה מאבקים קשים עם הרשויות בשל גילויי אנטישמיות, הותר לו לעבוד במכון לטמפרטורות נמוכות שהוקם בחרקוב. אחר כך הוא עבר לעבוד במכון אחר שהוקם בקריה האקדמית צ'רנוגולובקה הסמוכה למוסקווה. משימתה המרכזית של הקבוצה שעליה היה אחראי הייתה לפתח נוסחאות מדויקות עבור מדענים וחוקרים אחרים במכון שנתקלו בבעיות לא שגרתיות בתחומי הפיזיקה, הכימיה והביוכימיה. בד בבד כתב ויטלי את עבודת הדוקטור השנייה שלו במתמטיקה בנושא אנליזה פונקציונלית. גם הפעם דרכו הייתה מרובת מעקשים כיוון שבאותה העת הוטלו מגבלות חמורות על קבלת עבודות מיהודים ברוב המועצות המדעיות. לבסוף בשנת 1970 התקבלה עבודתו ובשנה שלאחר מכן הוא זכה לתואר דוקטור למדעים, התואר המתקדם ביותר שניתן באקדמיה בברית המועצות ואין לו מקבילה בארצות המערב.
באותה העת פעל פרופ' מילמן להשגת האישורים הדרושים כדי לעלות לישראל, ואכן בשנת 1973, זמן קצר לפני פרוץ מלחמת יום הכיפורים, הוא הגיע ארצה יחד עם אשתו לודמילה ובתו הבכורה. לימים נולדו לזוג בן ובת נוספים. העלייה ארצה לוותה בהתרגשות כבירה. כמה ימים לאחר עלייתו פגש את פרופ' יובל נאמן, נשיא אוניברסיטת תל אביב דאז, ופרופ' נאמן הודיע לו שהוא מוזמן להצטרף לסגל האקדמי של האוניברסיטה במשרת פרופסור חבר. לאחר כמה שנים הוא קודם ומונה לפרופסור מן המניין.
כחלק מתהליך קליטתו בארץ לפרופ' מילמן היה חשוב לשרת בצה"ל. "חשבתי שאין לי זכות להביע את דעתי בישראל לפני שאני אשרת בצה"ל ואשתתף במלחמה. חשבתי שבשביל לקבל זכויות מוסריות כאן, עליי לעבור מה שכל ישראלי עבר". ואכן פרופ' מילמן התגייס, שירת במילואים ואף השתתף במלחמת לבנון הראשונה. לאחר מלחמת יום הכיפורים, בימי המילואים הראשונים שלו, הוא ראה טנק עם חור קטן שנגרם מפגיעה של טיל נ"ט שהביאה למותם של כל אנשי הצוות שהיו בו. הדבר הטריד את מנוחתו והוא החליט לכנס סמינר של מומחים עולים חדשים מתחומים שונים של מדע וטכנולוגיה. הצוות ישב על המדוכה כחצי שנה, למד ככל האפשר על טילי הנ"ט ועל הפגיעה שלהם בטנקים והגיע לפתרון פשוט ליישום שיוכל להגן על צוות הטנק מפגיעה. מובן שהגדלת העובי של שכבת השריון אינה אפשרית כיוון שהדבר יוסיף משקל עצום לטנק, אולם חישוביהם הראו שמטר אחד של אוויר מתנגד לסילון של הטיל כמו 30 ס"מ של פלדה. כלומר חיפוי של הטנק במכלים ריקים בעובי של כ־60 ס"מ יוסיף את שכבת ההגנה הנדרשת. הצוות נפגש עם אחד הקצינים הבכירים בחיל השריון והציג בפניו את הרעיון. בדיעבד, אף שאין לדעת אם הדבר קרה הודות לרעיון של אנשי הסמינר או שמא בעקבות תגלית עצמאית אחרת, התברר שהרעיון הזה יושם בדגם הבא של הטנק.
על אף הטלטלה בחייו עקב המעבר לישראל, תהליך הקליטה בארץ שהצריך ממנו להסתגל לתרבות חדשה ולשפה חדשה, השירות בצבא והמלחמה שפרצה, המשיך פרופ' מילמן להיות חוקר פורה ומתמטיקאי מוביל. בשנות השבעים של המאה הקודמת פרסם בשיתוף עם עמיתיו תאדק פיגייל ויורם לינדנשטראוס מאמר מכונן בתחום אנליזה פונקציונלית גאומטרית, אשר הניח יסוד חשוב לתאוריה הלוקלית. זאת ועוד, מחקרו בתחום ריכוז המידה הניב את אחד הכלים החשובים ביותר באנליזה שהתגלו בעשורים האחרונים. הוא אף ייסד תחום חדש במתמטיקה המכונה אנליזה אסימפטוטית גאומטרית. תחום זה משמש גם במדעים אחרים לבד מן המתמטיקה, בהם מדעי המחשב, פיזיקה ואף רפואה.
פרופ' מילמן ייסד את כתב העת Geometric and Functional Analysis, מכתבי העת היוקרתיים בתחום המתמטיקה, ושימש העורך הראשי שלו. כן היה שותף בצוות העורכים של שני כתבי עת נוספים. מאז הגיע ארצה עסק כל העת בהוראה, הוא הנחה עשרות תלמידי מוסמך ודוקטור, רבים מהם השתלבו באקדמיה והפכו לחוקרים בעלי שם עולמי. הוא פרסם מאות מאמרים מדעיים, ועם פרישתו ופרוץ מגפת הקורנה שלח את ידו בכתיבה שאינה מדעית והוציא לאור חמישה־עשר ספרים העוסקים באומנות ובסיפור חייו המרתק.
פרסומים נבחרים
-
- Milman, Vitali D.; Schechtman, Gideon. Asymptotic theory of finite-dimensional normed spaces. With an appendix by M. Gromov. Lecture Notes in Mathematics, 1200. Springer-Verlag, Berlin, 1986. viii+156 pp.
- Artstein-Avidan, Shiri; Giannopoulos, Apostolos; Milman, Vitali D. Asymptotic geometric analysis. Part I. Mathematical Surveys and Monographs, 202. American Mathematical Society, Providence, RI, 2015. xx+451 pp.
- König, Hermann; Milman, Vitali D. Operator relations characterizing derivatives. Birkhäuser/Springer, Cham, 2018. vi+191.
- Artstein-Avidan, Shiri; Giannopoulos, Apostolos; Milman, Vitali D. Asymptotic geometric analysis. Part II. Mathematical Surveys and Monographs, 261. American Mathematical Society, Providence, RI, 2021. xxxvii+645 pp.
-
- Milman, V. D. A new proof of A. Dvoretzky's theorem on cross-sections of convex bodies. (Russian) Funkcional. Anal. I Priložen. 5 (1971), no. 4, 28–37.
- Figiel, T.; Lindenstrauss, J.; Milman, V. D. The dimension of almost spherical sections of convex bodies. Acta Math. 139 (1977), no. 1–2, 53–94.
- Gromov, M.; Milman, V. D. A topological application of the isoperimetric inequality. Amer. J. Math. 105 (1983), no. 4, 843–854.
- Alon, N.; Milman, V. D. λ1, isoperimetric inequalities for graphs, and superconcentrators. J. Combin. Theory Ser. B 38 (1985), no. 1, 73–88.
- Milman, V. D. Almost Euclidean quotient spaces of subspaces of a finite-dimensional normed space. Proc. Amer. Math. Soc. 94 (1985), no. 3, 445–449.
- Milman, Vitali D. Inégalité de Brunn-Minkowski inverse et applications à la théorie locale des espaces normés. [An inverse form of the Brunn-Minkowski inequality, with applications to the local theory of normed spaces] C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 302 (1986), no. 1, 25–28.
- Bourgain, J.; Milman, V. D. New volume ratio properties for convex symmetric bodies in Rn. Invent. Math. 88 (1987), no. 2, 319–340.
- Milman, V. D.; Pajor, A. Isotropic position and inertia ellipsoids and zonoids of the unit ball of a normed n-dimensional space. Geometric aspects of functional analysis (1987–88), 64–104, Lecture Notes in Math., 1376, Springer, Berlin, 1989.
- Maurey, B.; Milman, V. D.; Tomczak-Jaegermann, N. Asymptotic infinite-dimensional theory of Banach spaces. Geometric aspects of functional analysis (Israel, 1992–1994), 149–175, Oper. Theory Adv. Appl., 77, Birkhäuser, Basel, 1995.
- Klartag, B.; Milman, V. D. Isomorphic Steiner symmetrization. Invent. Math. 153 (2003), no. 3, 463–485.
- Artstein, S.; Milman, V.; Szarek, S. J. Duality of metric entropy. Ann. of Math. (2) 159 (2004), no. 3, 1313–1328.
- Klartag, B.; Milman, V. Rapid Steiner symmetrization of most of a convex body and the slicing problem. Combin. Probab. Comput. 14 (2005), no. 5–6, 829–843.
- Artstein-Avidan, S.; Milman, V. D. The concept of duality in convex analysis, and the characterization of the Legendre transform. Ann. of Math. (2) 169 (2009), no. 2, 661–674.
- Artstein-Avidan, S.; Florentin D.; Milman, V. D. Order isomorphisms on convex functions in windows. Geometric aspects of functional analysis, 61–122, Lecture Notes in Math., 2050, Springer, Heidelberg, 2012.
- Milman, V. D.; Rotem, L. Mixed integrals and related inequalities. J. Funct. Anal. 264 (2013), no. 2, 570–604.
- Milman, E.; Milman, V. D.; Rotem, L. Reciprocals and flowers in convexity. Geometric aspects of functional analysis. Vol. II, 199–227, Lecture Notes in Math., 2266, Springer, Cham, [2020].